- Аналоговые или цифровые фильтры
- Активные или пассивные фильтры
- Фильтры на основе аудио или радиочастоты
- Фильтры на основе выбора частоты
- Фильтр Баттерворта нижних частот первого порядка
- Фильтр нижних частот Баттерворта второго порядка
- Получение фильтра Баттерворта нижних частот второго порядка -Aliter
Электрические фильтры имеют множество применений и широко используются во многих схемах обработки сигналов. Он используется для выбора или исключения сигналов выбранной частоты в полном спектре данного входа. Таким образом, фильтр используется для пропуска сигналов выбранной частоты через него или исключения сигналов выбранной частоты, проходящих через него.
В настоящее время доступно множество типов фильтров, и они различаются по многим параметрам. И мы рассмотрели множество фильтров в предыдущих уроках, но наиболее популярная дифференциация основана на:
- Аналоговый или цифровой
- Активный или пассивный
- Аудио или радиочастота
- Выбор частоты
Аналоговые или цифровые фильтры
Мы знаем, что сигналы, генерируемые окружающей средой, имеют аналоговую природу, в то время как сигналы, обрабатываемые в цифровых схемах, имеют цифровую природу. Мы должны использовать соответствующие фильтры для аналоговых и цифровых сигналов, чтобы получить желаемый результат. Таким образом, мы должны использовать аналоговые фильтры при обработке аналоговых сигналов и использовать цифровые фильтры при обработке цифровых сигналов.
Активные или пассивные фильтры
Фильтры также делятся по компонентам, использованным при разработке фильтров. Если конструкция фильтра полностью основана на пассивных компонентах (например, резисторе, конденсаторе и катушке индуктивности), то фильтр называется пассивным фильтром. С другой стороны, если мы используем активный компонент (операционный усилитель, источник напряжения, источник тока) при проектировании схемы, то фильтр называется активным фильтром.
Однако более популярно активный фильтр предпочтительнее пассивного, поскольку он имеет много преимуществ. Некоторые из этих преимуществ упомянуты ниже:
- Нет проблем с нагрузкой: мы знаем, что в активной цепи мы используем операционный усилитель с очень высоким входным сопротивлением и низким выходным сопротивлением. В том случае, когда мы подключаем активный фильтр к цепи, ток, потребляемый операционным усилителем, будет очень незначительным, поскольку он имеет очень высокий входной импеданс и, таким образом, схема не испытывает нагрузки при подключении фильтра.
- Гибкость регулировки усиления: в пассивных фильтрах усиление или усиление сигнала невозможно, так как не будет специальных компонентов для выполнения такой задачи. С другой стороны, в активном фильтре есть операционный усилитель, который может обеспечить высокий коэффициент усиления или усиление входных сигналов.
- Гибкость настройки частоты: активные фильтры обладают большей гибкостью при настройке частоты среза по сравнению с пассивными фильтрами.
Фильтры на основе аудио или радиочастоты
Компоненты, используемые при разработке фильтра, меняются в зависимости от применения фильтра или от того, где используется настройка. Например, RC-фильтры используются для аудио- или низкочастотных приложений, а LC-фильтры - для радио или высокочастотных приложений.
Фильтры на основе выбора частоты
Фильтры также делятся на основе сигналов, прошедших через фильтр.
Фильтр низких частот:
Все сигналы выше выбранных частот ослабляются. Они бывают двух типов - активный фильтр нижних частот и пассивный фильтр нижних частот. Частотная характеристика фильтра нижних частот показана ниже. Здесь пунктирный график представляет собой идеальный график фильтра нижних частот, а чистый график - фактический отклик практической схемы. Это произошло потому, что линейная сеть не может генерировать прерывистый сигнал. Как показано на рисунке, после того, как сигналы достигают частоты среза fH, они затухают, а после определенной более высокой частоты сигналы, подаваемые на вход, полностью блокируются.
Фильтр высоких частот:
Все сигналы выше выбранных частот появляются на выходе, а сигнал ниже этой частоты блокируется. Они бывают двух типов - активный фильтр верхних частот и пассивный фильтр верхних частот. Частотная характеристика фильтра высоких частот показана ниже. Здесь пунктирный график представляет собой идеальный график фильтра верхних частот, а чистый график - фактический отклик практической схемы. Это произошло потому, что линейная сеть не может генерировать прерывистый сигнал. Как показано на рисунке, пока сигналы не будут иметь частоту выше, чем частота среза fL, они будут ослабляться.
Полосовой фильтр:
В этом фильтре на выходе могут появляться только сигналы выбранного диапазона частот, а сигналы любой другой частоты блокируются. Частотная характеристика полосового фильтра показана ниже. Здесь пунктирный график - это идеальный график полосового фильтра, а чистый график - фактический отклик практической схемы. Как показано на рисунке, сигналы в диапазоне частот от fL до fH могут проходить через фильтр, в то время как сигналы других частот подвергаются ослаблению. Узнайте больше о полосовом фильтре здесь.
Фильтр отклонения полосы:
Функция полосового фильтра является полной противоположностью полосового фильтра. Все частотные сигналы, имеющие значение частоты в выбранном диапазоне частот на входе, блокируются фильтром, в то время как сигналы любой другой частоты могут появляться на выходе.
Всепроходной фильтр:
Сигналы любой частоты могут проходить через этот фильтр, за исключением фазового сдвига.
В зависимости от области применения и стоимости разработчик может выбрать подходящий фильтр из различных типов.
Но здесь вы можете видеть, что на выходных графиках желаемые и фактические результаты не совсем совпадают. Хотя эта ошибка допускается во многих приложениях, иногда нам нужен более точный фильтр, выходной график которого больше стремится к идеальному фильтру. Такой почти идеальный отклик может быть достигнут за счет использования специальных методов проектирования, прецизионных компонентов и высокоскоростных операционных усилителей.
Баттерворт, Каур и Чебышев - одни из наиболее часто используемых фильтров, которые могут обеспечить почти идеальную кривую отклика. В них мы обсудим фильтр Баттерворта, поскольку он является наиболее популярным из трех.
Основные особенности фильтра Баттерворта:
- Это фильтр на основе RC (резистор, конденсатор) и операционного усилителя.
- Это активный фильтр, поэтому при необходимости можно регулировать усиление.
- Ключевой характеристикой Butterworth является то, что он имеет плоскую полосу пропускания и плоскую полосу задерживания. По этой причине его обычно называют «плоско-плоским фильтром».
Теперь давайте обсудим схемную модель фильтра Баттерворта низких частот для лучшего понимания.
Фильтр Баттерворта нижних частот первого порядка
На рисунке показана схемная модель ФНЧ первого порядка Баттера Валта.
В схеме имеем:
- Напряжение «Vin» как входной сигнал напряжения аналогового характера.
- Напряжение Vo - это выходное напряжение операционного усилителя.
- Резисторы RF и R1 - это резисторы отрицательной обратной связи операционного усилителя.
- В цепи присутствует одна RC-цепь (отмечена красным квадратом), следовательно, фильтр является фильтром нижних частот первого порядка.
- «RL» - это сопротивление нагрузки, подключенной к выходу операционного усилителя.
Если мы используем правило делителя напряжения в точке 'V1', тогда мы можем получить напряжение на конденсаторе как, V 1 = V в этом -jXc = 1 / 2ᴫfc
После подстановки этого уравнения у нас будет примерно следующее:
V 1 = Vi n / (1 + j2ᴫfRC)
Теперь операционный усилитель здесь используется в конфигурации с отрицательной обратной связью, и для такого случая уравнение выходного напряжения имеет вид
V 0 = (1 + R F / R 1) V 1.
Это стандартная формула, и вы можете изучить схемы операционных усилителей для получения более подробной информации.
Если мы отправим уравнение V1 в Vo, у нас будет, V0 = (1 + R F / R 1)
Переписав это уравнение, мы можем иметь
V 0 / V в = А Р / (1 + J (F / F L))
В этом уравнении
- V 0 / V in = усиление фильтра как функция частоты
- AF = (1 + R F / R 1) = усиление полосы пропускания фильтра
- f = частота входного сигнала
- f L = 1 / 2ᴫRC = частота среза фильтра. Мы можем использовать это уравнение, чтобы выбрать соответствующие номиналы резистора и конденсатора для выбора частоты среза схемы.
Если мы переведем приведенное выше уравнение в полярную форму, мы получим:
Мы можем использовать это уравнение, чтобы наблюдать изменение величины усиления при изменении частоты входного сигнала.
Случай 1: f <
Таким образом, когда входная частота намного меньше частоты среза фильтра, величина усиления приблизительно равна усилению контура операционного усилителя.
Случай 2: F = F L. Если входная частота равна частоте среза фильтра, тогда,
Таким образом, когда входная частота равна частоте среза фильтра, величина усиления составляет 0,707 от коэффициента усиления контура операционного усилителя.
Вопрос 3: F> F L. Если входная частота выше, чем частота среза фильтра, тогда,
Как видно из рисунка, усиление фильтра будет таким же, как и усиление операционного усилителя, пока частота входного сигнала не станет меньше частоты среза. Но как только частота входного сигнала достигает частоты среза, усиление незначительно уменьшается, как видно во втором случае. По мере того, как частота входного сигнала увеличивается, коэффициент усиления постепенно уменьшается, пока не достигнет нуля. Таким образом, фильтр Баттерворта нижних частот позволяет входному сигналу появляться на выходе до тех пор, пока частота входного сигнала не станет ниже частоты среза.
Если мы нарисовали график частотной характеристики для вышеуказанной схемы, у нас будет:
Как видно на графике, усиление будет линейным до тех пор, пока частота входного сигнала не пересечет значение частоты среза, и как только это произойдет, усиление значительно уменьшится, как и значение выходного напряжения.
Фильтр нижних частот Баттерворта второго порядка
На рисунке показана схемная модель фильтра нижних частот Баттерворта 2-го порядка.
В схеме имеем:
- Напряжение «Vin» как входной сигнал напряжения аналогового характера.
- Напряжение Vo - это выходное напряжение операционного усилителя.
- Резисторы RF и R1 - это резисторы отрицательной обратной связи операционного усилителя.
- В цепи присутствует двойная RC-цепочка (отмечена красным квадратом), следовательно, фильтр является фильтром нижних частот второго порядка.
- «RL» - это сопротивление нагрузки, подключенной к выходу операционного усилителя.
Вывод фильтра Баттерворта нижних частот второго порядка
Фильтры второго порядка важны, потому что фильтры более высокого порядка разрабатываются с их использованием. Коэффициент усиления фильтра второго порядка устанавливается R1 и RF, в то время как частота среза f H определяется значениями R 2, R 3, C 2 и C 3. Вывод для частоты среза дается следующим образом:
f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2
Уравнение усиления по напряжению для этой схемы также можно найти таким же образом, как и раньше, и это уравнение приведено ниже:
В этом уравнении
- V 0 / V in = усиление фильтра как функция частоты
- A F = (1 + R F / R 1) усиление полосы пропускания фильтра
- f = частота входного сигнала
- f H = 1 / 2ᴫ (R 2 R 3 C 2 C 3) 1/2 = частота среза фильтра. Мы можем использовать это уравнение, чтобы выбрать соответствующие номиналы резистора и конденсатора для выбора частоты среза схемы. Также, если мы выберем тот же резистор и конденсатор в RC-цепи, тогда уравнение станет следующим:
Мы можем использовать уравнение усиления по напряжению, чтобы наблюдать изменение величины усиления с соответствующим изменением частоты входного сигнала.
Случай 1: f <
Таким образом, когда входная частота намного меньше частоты среза фильтра, величина усиления приблизительно равна усилению контура операционного усилителя.
Случай 2: F = F H. Если входная частота равна частоте среза фильтра, тогда,
Таким образом, когда входная частота равна частоте среза фильтра, величина усиления составляет 0,707 от коэффициента усиления контура операционного усилителя.
Вопрос 3: F> F H. Если входная частота действительно выше, чем частота среза фильтра, тогда,
Подобно фильтру первого порядка, коэффициент усиления фильтра будет таким же, как и коэффициент усиления операционного усилителя, до тех пор, пока частота входного сигнала не станет меньше частоты среза. Но как только частота входного сигнала достигает частоты среза, усиление незначительно уменьшается, как видно во втором случае. По мере того, как частота входного сигнала увеличивается, коэффициент усиления постепенно уменьшается, пока не достигнет нуля. Таким образом, фильтр Баттерворта нижних частот позволяет входному сигналу появляться на выходе до тех пор, пока частота входного сигнала не станет ниже частоты среза.
Если мы нарисуем график частотной характеристики для вышеуказанной схемы, у нас будет:
Теперь вам может быть интересно, в чем разница между фильтром первого порядка и фильтром второго порядка ? Ответ находится на графике. Если вы внимательно посмотрите, то увидите, что после того, как частота входного сигнала пересекает граничную частоту, график резко падает, и это падение более очевидно во втором порядке по сравнению с первым порядком. При таком крутом наклоне фильтр Баттерворта второго порядка будет более склонен к идеальному графику фильтров по сравнению с фильтром Баттерворта одного порядка.
То же самое для фильтра нижних частот Баттерворта третьего порядка, фильтра нижних частот Баттерворта четвертого порядка и так далее. Чем выше порядок фильтра, тем больше график усиления склоняется к графику идеального фильтра. Если мы нарисуем график усиления для фильтров Баттерворта более высокого порядка, у нас будет что-то вроде этого:
На графике зеленая кривая представляет собой идеальную кривую фильтра, и вы можете видеть, что по мере увеличения порядка фильтра Баттерворта его график усиления больше склоняется к идеальной кривой. Таким образом, чем выше порядок фильтра Баттерворта, тем более идеальной будет кривая усиления. При этом вы не можете легко выбрать фильтр более высокого порядка, поскольку точность фильтра уменьшается с увеличением порядка. Следовательно, лучше всего выбирать порядок фильтра, следя за необходимой точностью.
Получение фильтра Баттерворта нижних частот второго порядка -Aliter
После публикации статьи мы получили письмо от Кейта Фогеля, инженера-электрика на пенсии. Он заметил широко разрекламированную ошибку в описании фильтра нижних частот 2- го порядка и предложил свое объяснение по ее исправлению, которое состоит в следующем.
Так что позвольте мне тоже это исправить:
А затем скажем, что частота среза -6 дБ описывается уравнением:
f c = 1 / (
Однако это просто неправда! Давай заставим тебя поверить мне. Сделаем схему, в которой R1 = R2 = 160, а C1 = C2 = 100 нФ (0,1 мкФ). Учитывая уравнение, мы должны иметь частоту -6 дБ:
f c = 1 / (
Давайте смоделируем схему и посмотрим, где находится точка -6 дБ:
О, он имитирует до 6,33 кГц, а НЕ 9,947 кГц; но моделирование НЕ ПРАВИЛЬНО!
Для вашей информации я использовал -6.0206db вместо -6db, потому что 20log (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 немного ближе, чем -6, и чтобы получить более точную смоделированную частоту для наших уравнений, я хотел использовать что-то немного ближе, чем просто -6 дБ. Если бы я действительно хотел достичь частоты, описанной уравнением, мне нужно было бы буферизовать между 1- й и 2- й ступенями фильтра. Более точная схема для нашего уравнения будет:
И здесь мы видим, что наша точка -6,0206 дБ имитирует 9,945 кГц, что намного ближе к нашим расчетным 9,947 кГц. Надеюсь, вы мне поверите, что произошла ошибка! Теперь поговорим о том, как возникла ошибка и почему это просто плохая инженерия.
Большинство описаний начинается с фильтра нижних частот 1- го порядка со следующим импедансом.
И вы получаете простую передаточную функцию:
H (s) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)
Затем они говорят, что если вы просто сложите 2 из них вместе, чтобы создать фильтр 2- го порядка, вы получите:
H (s) = H 1 (s) * H 2 (s).
Где H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
Что при вычислении приведет к уравнению fc = 1 / (2π√R1C1R2C2). Вот ошибка, ответ H 1 (s) НЕ независим от H 2 (s) в цепи, вы не можете сказать, что H 1 (s) = H 2 (s) = 1 / (sRC + 1).
Импеданс H 2 (s) влияет на реакцию H 1 (s). И поэтому эта схема работает, потому что операционный усилитель изолирует H 2 (s) от H 1 (s)!
Итак, теперь я собираюсь проанализировать следующую схему. Рассмотрим нашу оригинальную схему:
Для простоты я сделаю R1 = R2 и C1 = C2, иначе математика будет очень сложной. Но мы должны иметь возможность вывести фактическую передаточную функцию и сравнить ее с нашим моделированием для проверки, когда мы закончим.
Если мы скажем, Z 1 = 1 / sC параллельно с (R + 1 / sC), мы можем перерисовать схему как:
Мы знаем, что V 1 / V in = Z 1 / (R + Z 1); Где Z 1 может быть комплексным импедансом. И если мы вернемся к нашей исходной схеме, мы увидим Z 1 = 1 / sC параллельно с (R + 1 / sC)
Мы также можем видеть, что Vo / V 1 = 1 / (sRC + 1), что является H 2 (s). Но H 1 (s) намного сложнее, это Z 1 / (R + Z 1), где Z 1 = 1 / sC - (R + 1 / sC); и НЕ 1 / (sRC + 1)!
Итак, теперь давайте рассмотрим математику для нашей схемы; для частного случая R1 = R2 и C1 = C2.
У нас есть:
V 1 / V в = Z 1 / (R + Z 1) Z 1 = 1 / SC - (R + 1 / SC) = (Src + 1) / ((п.к.) 2 R + 2SC) Во- / V - 1 = 1 / (sRC + 1)
И наконец
Vo / V in = * = * = * = * = *
Здесь мы видим, что:
H 1 (s) = (sRC + 1) / ((sCR) 2 + 3sRC + 1)…
не 1 / (sRC + 1) H 2 (s) = 1 / (sRC + 1)
И..
Во- / V в = Н 1 (S) * H 2 (s) = * = 1 / ((ЦСИ) 2 + 3sRC + 1)
Мы знаем, что точка -6 дБ равна (
И мы знаем, что когда величина нашей передаточной функции равна 0,5, мы находимся на частоте -6 дБ.
Итак, давайте решим это:
-Vo / V, в - = -1 / ((ЦСИ) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5
Пусть s = jꙍ, имеем:
-1 / ((sRC) 2 + 3sRC + 1) - = 0,5 -1 / ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 0,5 - ((jꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (ꙍRC) 2 + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) 2) + 3jꙍRC- = 2
Чтобы найти величину, возьмите квадратный корень из квадрата действительного и мнимого членов.
sqrt (((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2) = 2
возводя в квадрат обе стороны: ((1- (ꙍRC) 2) 2 + (3ꙍRC) 2 = 4
Расширение:
1-2 (RC) 2 + (ꙍRC) 4 + 9 (ꙍRC) 2 = 4
1 + 7 (ꙍRC) 2 + (ꙍRC) 4 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 + 1 = 4
(ꙍRC) 4 + 7 (ꙍRC) 2 - 3 = 0
Пусть x = (ꙍRC) 2
(х) 2 + 7х - 3 = 0
Используя квадратное уравнение для решения относительно x
x = (-7 +/- sqrt (49-4 * 1 * (- 3)) / 2 = (-7 +/- sqrt (49 +12) / 2 = (-7 +/-
.. единственный реальный ответ - +
Помните
х = (ꙍRC) 2
замена x
(ꙍRC) 2 = (
Замена ꙍ на 2
2
f c = (
Урод, вы можете мне не поверить, так что читайте дальше… Исходную схему, которую я вам дал:
f c = (
Если мы вернемся к нашему исходному моделированию для этой схемы, мы увидим частоту -6 дБ на частоте ~ 6,331 кГц, что точно соответствует нашим расчетам!
Смоделируйте это для других значений, вы увидите, что уравнение верное.
Мы видим, что при буферизации между двумя фильтрами нижних частот 1- го порядка мы можем использовать уравнение
f c = 1 / (
И если R1 = R2 и C1 = C2, мы можем использовать уравнение:
f c = 1 /
Но если мы не буферизуем между двумя фильтрами 1- го порядка, наше уравнение (при R1 = R2, C1 = C2) становится:
f c = (
f c ~ 0,6365 / 2
Предупреждение, не пытайтесь сказать:
f c = 0,6365 / (
Помните, H 2 (s) влияет на H 1 (s); но не наоборот, фильтры не симметричны, поэтому не делайте этого предположения!
Поэтому, если вы собираетесь придерживаться своего текущего уравнения, я бы порекомендовал схему, которая больше похожа на эту:
