Понимание уравнений максвелла

Уравнения Максвелла являются основой теории электромагнетизма, которая представляет собой систему из четырех уравнений, связывающих электрические и магнитные поля. Вместо того, чтобы перечислять математическое представление уравнений Максвелла, мы сосредоточимся на фактическом значении этих уравнений в этой статье. Первое и второе уравнения Максвелла имеют дело со статическими электрическими полями и статическими магнитными полями соответственно. Третье и четвертое уравнения Максвелла имеют дело с изменяющимися магнитными полями и изменяющимися электрическими полями соответственно.

Уравнения Максвелла:

1. Закон Гаусса электричества
2. Закон магнетизма Гаусса
3. Закон индукции Фарадея
4. Закон Ампера

1. Закон Гаусса электричества.

Этот закон гласит, что электрический поток, исходящий от замкнутой поверхности, пропорционален общему заряду, заключенному на этой поверхности. Закон Гаусса имеет дело со статическим электрическим полем.

Рассмотрим положительный точечный заряд Q. Мы знаем, что силовые линии электрического потока направлены наружу от положительного заряда.

Рассмотрим замкнутую поверхность с _{заключенным} в нее зарядом Q. Вектор площади всегда выбирается Нормально к нему, потому что он представляет ориентацию поверхности. Пусть угол между вектором электрического поля и вектором площади равен θ.

Электрический поток ψ равен

Причина выбора скалярного произведения заключается в том, что нам нужно вычислить, сколько электрического потока проходит через поверхность, представленную вектором нормальной площади.

Из закона Кулонов мы знаем, что электрическое поле (E), обусловленное точечным зарядом, равно Q / 4πε ₀ r ².

С учетом сферической симметрии интегральная форма закона Гаусса:

Следовательно, электрический поток Ψ = Q _вложен / ε ₀

Здесь Q _{прилагается} представляет собой векторную сумму всех зарядов внутри поверхности. Область, в которой находится заряд, может иметь любую форму, но для применения закона Гаусса мы должны выбрать гауссову поверхность, которая является симметричной и имеет равномерное распределение заряда. Гауссова поверхность может быть цилиндрической, сферической или плоской.

Чтобы вывести его дифференциальную форму, нам нужно применить теорему о дивергенции.

Выше уравнение является дифференциальной формой закона Гаусса или Максвелла уравнения я.

В приведенном выше уравнении ρ представляет собой объемную плотность заряда. Когда нам нужно применить закон Гаусса к поверхности с линейным зарядом или распределением поверхностного заряда, удобнее представить уравнение с плотностью заряда.

Следовательно, мы можем сделать вывод, что дивергенция электрического поля над замкнутой поверхностью дает величину заряда (ρ), заключенного в ней. Применяя дивергенцию к векторному полю, мы можем узнать, действует ли поверхность, окруженная векторным полем, как источник или сток.

Давайте рассмотрим кубоид с положительным зарядом, как показано выше. Когда мы применяем дивергенцию к электрическому полю, выходящему из ящика (кубоида), результат математического выражения говорит нам, что рассматриваемый ящик (кубоид) действует как источник вычисляемого электрического поля. Если результат отрицательный, это говорит нам о том, что коробка действует как приемник, т.е. коробка заключает в себе отрицательный заряд. Если дивергенция равна нулю, значит, в ней нет заряда.

Из этого можно сделать вывод, что электрические монополи существуют.

2. Закон магнетизма Гаусса.

Мы знаем, что линия магнитного потока течет извне от северного полюса к южному.

Поскольку есть линии магнитного потока из-за постоянного магнита, будет связанная с ним плотность магнитного потока (B). Когда мы применяем теорему о расходимости к поверхности S1, S2, S3 или S4, мы видим, что количество силовых линий, входящих и выходящих из выбранной поверхности, остается неизменным. Следовательно, результат теоремы о расходимости равен нулю. Даже на поверхности S2 и S4 дивергенция равна нулю, что означает, что ни северный, ни южный полюсы по отдельности не действуют как источник или сток, как электрические заряды. Даже когда мы применяем дивергенцию магнитного поля (B) из-за токоведущего провода, оно оказывается равным нулю.

Интегральная форма закона магнетизма Гаусса:

Дифференциальная форма закона магнетизма Гаусса:

Из этого можно сделать вывод, что магнитных монополей не существует.

3. Закон индукции Фарадея.

Закон Фарадея гласит, что при изменении магнитного потока (изменяющегося во времени), связывающего катушку или любой проводник, в катушке будет индуцироваться ЭДС. Ленц заявил, что индуцированная ЭДС будет в таком направлении, что она противодействует изменению магнитного потока, вызывающего ее.

На приведенном выше рисунке, когда проводящая пластина или проводник находится под воздействием изменяющегося магнитного поля, в нем индуцируется циркулирующий ток. Ток индуцируется в таком направлении, что создаваемое им магнитное поле противодействует изменяющемуся магнитному полю, создавшему его. Из этой иллюстрации ясно, что изменение или изменение магнитного поля создает циркулирующее электрическое поле.

Из закона Фарадея, ЭДС = - dϕ / dt

Мы знаем это, ϕ = _{замкнутая поверхность} ʃ B. dS эдс = - (d / dt) ʃ B. dS

Электрическое поле E = V / d

V = ʃ E.dl

Поскольку электрическое поле изменяется по отношению к поверхности (ротору), существует разность потенциалов V.

Следовательно, интегральная форма четвертого уравнения Максвелла имеет вид

Применяя теорему Стокса,

Причина применения теоремы Стокса заключается в том, что, когда мы берем ротор вращающегося поля над замкнутой поверхностью, внутренние компоненты ротора вектора компенсируют друг друга, и это приводит к оценке векторного поля вдоль замкнутого пути.

Следовательно, мы можем написать, что,

Дифференциальная форма уравнения Максвелла:

Из приведенного выше выражения ясно, что магнитное поле, изменяющееся во времени, создает циркулирующее электрическое поле.

Примечание: в электростатике ротор электрического поля равен нулю, потому что он выходит радиально наружу из заряда, и с ним не связан вращающийся компонент.

4. Закон Ампера.

Закон Ампера гласит, что когда электрический ток течет по проводу, он создает вокруг него магнитное поле. Математически линейный интеграл магнитного поля вокруг замкнутого контура дает полный ток, заключенный в нем.

ʃ B .dl = μ ₀ Я приложил

Поскольку магнитное поле изгибается вокруг провода, мы можем применить теорему Стокса к закону Ампера.

Следовательно, уравнение принимает вид

Мы можем представить приложенный ток через плотность тока J.

B = μ ₀ H, используя это соотношение, мы можем записать выражение в виде

Когда мы применяем дивергенцию к ротору вращающегося векторного поля, результат равен нулю. Это потому, что замкнутая поверхность не действует как источник или сток, то есть количество потоков, входящих и исходящих из поверхности, одинаково. Математически это можно представить как

Давайте рассмотрим схему, показанную ниже.

К схеме подключен конденсатор. Когда мы применяем дивергенцию в области S1, результат показывает, что она не равна нулю. В математической записи

В цепи протекает ток, но в конденсаторе заряды передаются из-за изменения электрического поля на пластинах. Таким образом, физически через него не проходит ток. Максвелл ввел этот изменяющийся электрический поток как ток смещения (J _D). Но Максвелл ввел термин ток смещения (J _D), учитывая симметрию закона, т.е. Фарадея, если магнитное поле меняется во время производит электрическое поле, то в силе симметрии, изменяющееся электрическое поле создает магнитное поле.

Ротор напряженности магнитного поля (H) в области S1 равен

Интегральная форма четвертого уравнения Максвелла может быть выражена как:

Дифференциальная форма четвертого уравнения Максвелла:

Все эти четыре уравнения либо в интегральной, либо в дифференциальной форме вместе называются уравнениями Максвелла.